Lehrer M. M. hat seiner Fünften zur Übung eine Aufgabe zum schriftlich Multiplizieren und Dividieren aufgegeben:

Zwei natürliche Zahlen waren zu multiplizieren und zur Probe war das Ergebnis durch die kleinere der beiden Zahlen zu dividieren in der Hoffnung, dass die andere Zahl herauskommt.

Bei der Hausaufgabenverbesserung stellt sich heraus, dass zwei Schüler falsch gerechnet haben. Nach dem Dividieren hat Tobias 575 Rest 227 heraus und Philipp hat 572 Rest 308 herausgebracht.

Lehrer M. sieht sich die Hefte an und stellt fest, dass beide nur bei der Multiplikation jeweils genau einen Fehler gemacht haben:

Beim Addieren der Teilprodukte hat Tobias bei der Hunderterstelle eins zu wenig herausbekommen, Philipp genauso, aber bei der Tausenderstelle.

Wie hießen die beiden zu multiplizierenden Zahlen? 

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei a<b.

Tobias: (a*b-100)/a=575 R227

Philipp: (a*b-1000)/a=572 R308

Oder:

Tobias: a*b-100=575*a+227

Philipp: a*b-1000=572*a+308

Das wird zu:

Tobias: a*b=575*a+327=572*a+(3*a+327)

Philipp: a*b=572*a+1308

Also:

3*a+327=1308

Damit wird a zu 327 und b zu 576 

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei a<b.

Tobias: (a*b-100)/a=575 R227

Philipp: (a*b-1000)/a=572 R308

Oder:

Tobias: a*b-100=575*a+227

Philipp: a*b-1000=572*a+308

Das wird zu:

Tobias: a*b=575*a+327=572*a+(3*a+327)

Philipp: a*b=572*a+1308

Also:

3*a+327=1308

Damit wird a zu 327 und b zu 576