Für einen Gartenweg der Länge 25 m werden zwei verschiedene Sorten von Gartenplatten verwendet: Solche, die einen Mater lang sind und solche, die zwei Meter lang sind. Von beiden Sorten stehen beliebig viele Platten zur Verfügung.

Wie viele verschiedene Anordnungsmöglichkeiten gibt es?

Um Missverständnisse auszuschließen gebe ich hier mal für das Beispiel eines 4 m langen Weges alle Möglichkeiten an:

1111 (vier mal ein Meter), 112, 121, 211, 22

Da gibt es also 5 Möglichkeiten.

Aber wie viele gibt es für 25 m (einfach nur die Anzahl, keine Begründung, keine Auflistung - die abzugebende Antwort ist eine natürliche Zahl, Ende).

(Dank an Michael Giglberger vom Comenius-Gymnasium Deggendorf für die Anregung zu diesem Rätsel)

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Wie so oft, ist dies eine neue Variante eines alten Rätsels, das die Fibonaccizahlenreihe (in einer Variante) aufgreift.

Beliebt ist das Rätsel auch als Treppenrätsel, bei dem man ein oder zwei Stufen auf einmal nimmt.

Eine mögliche Argumentation ist die, dass man die Zahl der Möglichkeiten einen n Meter langen Weg zu bauen erhält, indem man die Anzahl der Möglichkeiten addiert, einen n-1 Meter langen Weg zu bauen und einen n-2 Meter langen Weg zu bauen.
Beim einen Weg legt man nämlich noch eine ein Meter lange Platte dazu, beim anderen Weg eine noch zwei Meter lange Platte. Das sind alle Möglichkeiten.
Bei einem 1 Meter langen Weg gibt es offensichtlich genau eine, bei einem zwei Meter langen Weg genau 2 Möglichkeiten.
Schon den drei Meter langen Weg kann man nun nach der Additionsformel a(n)=a(n-2)+a(n-1) berechnen: 1+2=3.
Also 3 Möglichkeiten für den drei Meter langen Weg.
Bei 4 Meter: 2+3=5, dann 3+5=8, 5+8=13, 8+13=21 etc.
Das kann man weiter führen bis man bei 25 Meter angekommen ist - per Hand (mühsam, aber funktioniert) oder mit Excel o.ä..
Oder man erkennt, dass es die Fibonaccireihe ist (um 1 verschoben wegen der Startwerte 1, 2 statt 1, 1) und verwendet die fertige und ziemlich geniale Formel für Fibonaccizahlen nach Moivre-Binet und erhält so das obige Ergebnis.

Schließlich könnte ich mir vorstellen, dass der ein oder andere "Rekursionsunerfahrene" einfach mal die ersten zB 6 Schritte (1m - 1 Möglichkeit, 2m - 2 Möglichkeiten, 3 - 3, 4 - 5, 5 - 8, 6 - 13; Also kurz 1-2-3-5-8-13) ganz händisch (systematisches Ausprobieren) gefunden hat und dann die Bildungsidee der Reihe wie bei einem Intelligenztest geschlossen hat. Das kann gut gehen und geht hier auch gut - das kann natürlich aber auch mal schief gehen!

Nachtrag: Der Schwierigkeitsgrad ist bei einem Rätsel dieser Art besonders schwer einzuschätzen: Mit der richtigen Idee und/oder Vorkenntnis hat man die Lösung gleich - für Andere ist langes Tüfteln angesagt. Auch ist natürlich der Fall denkbar, dass man mit dem Schiwerigkeitsgrad uU auch mal gerade nicht verraten will, dass der einfachste Gedanke der Richtige ist. In so einem Fall wird man als Rätseleinsteller uU mal den Schwierigkeitsgrad höher ansetzen als am Ende einsichtig. Aber vielleicht gehört eben in solchen Fällen die Schwierigkeit, sich der einfachen Lösung sicher genug sein zu können, einfach dazu - und diese erhöht den Schwierigkeitsgrad.