Geburtstag im Advent

Die zwei Mathematikerinnen H. und T. treffen sich auf zufällig auf einem Christkindlmarkt. Dabei entsteht folgender Dialog:

H.: „Wie geht es dir?“
T.: „Gut, ich habe gerade meinen 45. Geburtstag gefeiert.“
H.: „Und wie geht es deinen Kindern?“
T.: „Das Produkt ihrer Lebensalter beträgt 1260.“
H.: „Als ich dich das letzte Mal getroffen habe, war dieses Produkt noch 715.“
T.: „Damals besuchte unsere jüngste Tochter erst den Kindergarten, jetzt geht sie schon in die Schule.“
H.: „Die Kinder werden so schnell groß.“
T.: „Ich muss gleich weiter, weil ich noch ein Geschenk für meine Tochter Xenia kaufen möchte. Sie hat kurz vor Weihnachten Geburtstag.“
H.: „Wie alt wird Xenia?“
T.:  „Das findest du sicher selbst heraus!“

Wie alt wird Xenia? Gib die Antwort in Jahren an.

P.S. Es fehlt keine Angabe :-)

Antwort: Xenia wird 13 Jahre alt.

Lösungsweg:
715 = 1 * 5 * 11 * 13
5 * 11 > 45 und 5 * 13 > 45
Daraus folgt, dass es mindestens 3, aber höchstens 4 Kinder sein können.

Beim letzten Treffen waren also die Kinder 5, 11 und 13 bzw. 1, 5, 11 und 13 Jahre alt.

Da die Kinder nicht alle unbedingt am selben Tag Geburtstag haben, kann man nicht davon ausgehen, dass sie beim zweiten Treffen dieselben Altersunterschiede haben wie beim letzten Gespräch der Mathematikerinnen. Die Jahresunterschiede können jeweils um 1 Jahr abweichen, je nachdem, an welchem Tag im Jahr die Kinder Geburtstag haben.

Aus den Faktoren von 1260 lassen sich nur die Alterskonstellation 7, 12 und 15 und 1, 7, 12 und 15 bilden. Xenia kann nicht die jüngste Tochter sein. Also wird Xenia 13.