Julia konnte sich nicht entscheiden und hat für den diesjährigen Adventskranz gleich 40 Kerzen gekauft, insgesamt jeweils 4 Kerzen für jede der 10 angebotenen Farben (weinrot, anthrazitgrau, violett, königsblau, pink, beige, orange, schwarz, silbern, golden).
Daheim fragt sie sich nun, wieviele verschiedene Adventskränze man damit wohl produzieren könnte. Ein solcher besteht bekanntermaßen aus 4 im Kreis angeordneten Kerzen, wobei zwei Kränze gleich aussehen, wenn sie bis auf Drehen die selbe Farbanordnung haben. Könnt ihr Julia die richtige Anzahl verraten?
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Es gibt insgesamt 2530 verschiedene Adventskränze. Man kann diese zählen, indem man z.B. zuerst nach der Zahl der verschiedenen Farben auf dem Kranz und dann nach deren Anordnung sortiert. Wir schrieben hier "WXYZ" um die Anordnung auf dem Kranz darzustellen (die Buchstaben W, X, Y, Z stellen reihum die Kerzen dar), die Kränze XYZW, YZWX und ZWXY sehen dann gleich aus. 4 versch. Farben "ABCD":
Wir wählen die Farben der Reihe nach aus. Für die erste Farbe A gibt es 10, für die nächste nur noch 9 Möglichkeiten, da die Farbe A nicht mehr zur Wahl steht. Analog gibt es für die dritte Farbe noch 8 und für die vierte noch 7 Möglichkeiten, insgesamt können wir unsere Farben also auf 10·9·8·7 Weisen wählen. Aber Achtung: wir haben jeden Kranz vierfach gezählt, da wir mit ABCD auch BCDA, CDAB und DABC jeweils neu gezählt haben, diese vier aber garnicht verschieden aussehen! Wir müssen unser Ergebnis also noch durch 4 teilen und erhalten 10·9·8·7/4 = 1260 vierfarbige Kränze. 3 versch. Farben:
Hier kommt nun eine Farbe doppelt vor. Unser Kranz ist also vom Typ AABC oder vom Typ ABAC, je nach dem, ob die beiden gleichfarbigen Kerzen benachbart sind oder nicht.
Wir betrachten zuerst den ersten Fall, also die Anordnung AABC: Wir können A auf 10, B dann auf 9 und C auf 8 Weisen wählen. Anders als bei den 4 Farben zählen wir dabei keinen Kranz mehrfach, so dass es 10·9·8 = 720 dieser Kränze gibt. Im anderen Fall der Anordnung ABAC hingegen zählen wir den Kranz ABAC auch noch als ACAB und dadurch doppelt, hier haben wir also in Wahrheit nur 10·9·8/2 = 360 Kränze gefunden.
Insgesamt gibt es nach obigem 720+360 = 1080 dreifarbige Kränze. 2 versch. Farben:
Die Möglichkeiten hierfür sind AAAB, AABB und ABAB. Ersteres liefert uns 10·9 = 90, die beiden anderen Fälle steuern jeweils 10·9/2 = 45 Kränze bei. Zusammenfassend gibt es also 90+45+45 = 180 zweifarbige Kränze. Eine Farbe:
Hier gibt es natürlich nur genau die 10 verschiedenen Farben als Möglichkeiten. Addieren wir nun alles auf, so erhalten wir 1260+1080+180+10 = 2530 verschiedene Adventskränze. Kleine Anmerkung:
Würden wir einen Adventskranz aus n Kerzen, für welche jeweils a Farben zur Verfügung stehen, bilden, so gäbe es genau (a^ggT(1,n) + a^ggT(2,n) + a^ggT(3,n) + ... + a^ggT(n,n))/n verschiedene Adventskränze. In der Tat liefert uns diese Formel für n=4 Kerzen mit a=10 Farben die oben gefundenen (10^ggT(1,4) + 10^ggT(2,4) + 10^ggT(3,4) + 10^ggT(4,4))/4 = (10^1 + 10^2 + 10^1 + 10^4)/4 = 10120/4 =2530 Adventskränze.
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