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Wie viele verschiedene natürliche Zahlen gibt es, welche folgende beiden Eigenschaften zugleich erfüllen? - Jede Ziffer kommt in der Zahl mindestens einmal vor (wobei eine Null an vorderster Stelle natürlich nicht zählt).
- Der gleiche Abstand (Differenzwert) zweier benachbarter Ziffern kommt in der Zahl nicht mehrfach vor.
Zum besseren Verständnis schnell vier Beispiele, bei denen aus Vereinfachungsgründen aber nur die Ziffern von 0 bis 2 (statt 0 bis 9) vorkommen müssen:
- Die Zahl 210 wäre unzulässig, da der Abstand 1 doppelt vorkommt (zwischen 2 und 1 sowie zwischen 1 und 0). - Bei 110 wäre zwar die Abstandsregel erfüllt, aber es ist nicht jede Ziffer mindestens einmal enthalten (die 2 fehlt). - 012 und 0012 wären ebenfalls unzulässig, weil vorangestellte Nullen nicht zählen. - 120 würde hingegen beide Eigenschaften erfüllen. Nun der ganze Spaß mit allen Ziffern... wieviele mag es wohl geben?
Viel Spaß beim Knoblen und Überlegen!
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- 1048576
- 3628799
- 999999999
- 1000000000
- unendlich viele
Lösung ausblenden
In der Tat eine höchst knifflige Angelegenheit, da auf den ersten Blick tatsächlich jede der vorgegebenen Anzahlen von Null bis unendlich als richtige Lösung denkbar sein könnte. Dass es mindestens eine solche Zahl gibt, findet man nach einigem Probieren heraus (z.B. 7281904536), doch was dann? Schnell ist einsehbar, dass bei der Vorschrift, alle zehn Ziffern zu verwenden, dazwischen jeder Abstand von 1 bis 9 vorkommen muss. Versucht man einfach mal, alle Ziffern so in eine Zahl einzubauen, dass am Schluss kein Abstand doppelt vorkommt, geht es meistens nicht auf. Versucht man hingegen, die Abstände von 9 bis 1 nach und nach in eine Zahl einzubauen, kommt man nach großer Konzentrations- und Geduldsarbeit schließlich zum Erfolg: Der Abstand 9 lässt sich nur auf eine einzige Art erzeugen: die 0 muss zwangsläufig neben der 9 stehen (um die 0 am Anfang zu vermeiden, beginnt man mit 90 und nicht 09). Für den Abstand 8 gibt es jetzt schon zwei Möglichkeiten: Entweder die 1 steht links neben der 9 (also 190) oder die 8 rechts neben der 0 (908). So lässt sich die Überlegung für die Abstände 7, 6, 5 ... bis 1 (die 0 lassen wir zunächst mal weg) fortführen - wie gesagt ziemlich langwierig, es entsteht ein großes Baumdiagramm, aber doch Erfolg bringend. Mit dieser Methode findet man letztendlich genau 148 Zahlen. Dies sind jedoch aus zwei Gründen noch nicht alle im Rätsel gesuchten: Der Abstand Null ist bisher noch nicht verwendet worden. Diesen erreicht man, indem man in jeder der 148 Zahlen jeweils genau eine der bereits vorhandenen zehn Ziffern doppelt schreibt (Bsp: 72819044536 - doppelte 4). So erhält man zu jeder der 148 Zahlen noch zehn weitere dazu. Die gesamte Anzahl liegt dann schon bei 11*148=1628. Nun muss man sich noch überlegen, dass sämtliche 1628 Zahlen auch noch gespiegelt werden können, denn bisher stand ja von Anfang an immer die 9 links von der 0 und niemals rechts. Also die Anzahl 1628 nochmal mit zwei multiplizieren. Aber Achtung: Unter den ursprünglichen 148 Zahlen hatte genau eine die 0 am Ende (das sieht man in dem großen Baumdiagramm), nach dem Hinzufügen des Abstands Null sind es also genau elf, die auf 0 enden. Nach dem Spiegeln haben diese elf Zahlen nun die 0 vorne und scheiden deshalb wieder aus. Schon erhält man die richtige Anzahl der gesuchten Zahlen: 2 * 1628 - 11 =3245. |
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