Auf allen 100 Stockwerken der Weihnachtsfabrik wird auf Hochtouren gearbeitet. Leider ist der Aufzug defekt, mit dem die fertig verpackten Geschenke aus dem 1. bis 100. Stock hinunter ins Erdgeschoss zur Verladung auf den Schlitten befördert werden sollen. Jemand hat die Idee, die Geschenke einfach direkt aus dem Fenster nach unten zu werfen. Dazu müsste man aber zuerst wissen, bis zu welcher Fallhöhe dies ohne Schäden möglich ist.
Der Weihnachtsmann stellt seinen Wichteln den folgenden Auftrag: „Hier habt ihr zum Testen zwei überzählige Geschenke, die ihr von beliebigen Stockwerken aus herunter werfen dürft. Aber wir haben nicht mehr viel Zeit bis Weihnachten, also müsst ihr mit möglichst wenigen Versuchen auskommen. Los geht’s: Findet heraus, bis zu welchem Stockwerk die Geschenke ganz bleiben!“
Zur Klarstellung: Die intelligenten Wichtel wählen natürlich diejenige Vorgehensweise, bei der man die wenigsten Versuche braucht. Jeder Wurf eines der Geschenke zählt als ein Versuch. Sobald ein Geschenk kaputt gegangen ist, steht es für weitere Tests nicht mehr zur Verfügung. Sämtliche Geschenke besitzen die gleiche Stabilität, d.h. alle gehen ab der gleichen Höhe kaputt. Mit „Höhe“ bzw. „Fallhöhe“ ist das jeweilige Stockwerk gemeint, bei dem ein Geschenk aus dem Fenster geworfen wird. Beim Wurf aus dem Erdgeschossfenster bleiben die Geschenke noch heil, ab dem 1. Stock könnten sie eventuell bereits kaputt gehen, möglicherweise aber auch erst ab einem höheren Stockwerk - das sollen die Wichtel ja gerade herausfinden. Ob die Geschenke den Wurf vom obersten Stock der Fabrik überstehen oder nicht, ist den Wichteln zu Beginn natürlich ebenfalls nicht bekannt.
Frage: Wie viele Versuche müssen die Wichtel einplanen, um selbst im ungünstigsten Fall den Auftrag des Weihnachtsmanns erfüllen zu können?
Falls kaputt: Mit dem 2. Geschenk der Reihe nach die 13 Etagen von Nr.1 bis Nr. 13 testen.
(Von unten nach oben. Sobald kaputt: fertig mit maximal 14=1+13 Würfen.)
Ansonsten: 2. Wurf des 1. Geschenks aus Etage 27 (=14+13)
Falls kaputt: Mit dem 2. Geschenk der Reihe nach die 12 Etagen von Nr. 15 bis Nr. 26 testen.
(Von unten nach oben. Sobald kaputt: fertig mit maximal 14=2+12 Würfen.)
Ansonsten: 3. Wurf des 1. Geschenks aus Etage 39 (=14+13+12)
Falls kaputt: Mit dem 2. Geschenk der Reihe nach die 11 Etagen von Nr. 28 bis Nr. 28 testen.
(Von unten nach oben. Sobald kaputt: fertig mit maximal 14=3+11 Würfen.)
Ansonsten: 4. Wurf des 1. Geschenks aus Etage 50 (=14+13+12+11)
Falls kaputt: Mit dem 2. Geschenk der Reihe nach die 10 Etagen von Nr. 40 bis Nr. 49 testen.
usw. usw. usw…Auf diese Weise landen sie, falls sie nicht schon vorher fertig sind,
beim 11. Wurf des 1. Geschenks aus Etage 99 (=14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4)
Falls kaputt: Mit dem 2. Geschenk der Reihe nach die 3 Etagen Nr. 96 bis Nr. 98 testen.
(Von unten nach oben. Sobald kaputt: fertig mit maximal 14=11+3 Würfen.)
Ansonsten: 14. (letzter) Wurf des 1. Geschenks aus Etage 100, und damit endgültig fertig.
Spätestens jetzt sind die Wichtel fertig und haben mit maximal 14 Würfen und maximal 2 Geschenken herausgefunden, bis zu welcher Höhe die Geschenke heil bleiben. Übrigens hätte das sogar geklappt, wenn die Fabrik noch 5 Etagen höher wäre.
Die Lösung basiert letztlich auf der Summenwerten der natürlichen Zahlen 1+2+3+4+5+… , wobei man jedoch quasi „von hinten her“ summieren muss. Zunächst weiß man nicht, bei welcher Zahl man mit dem Addieren beginnen soll. Das klärt sich aber schnell anhand der Überlegung 1+2+3+…+n>=100 ab n=14. War insgesamt doch gar nicht so schwer, oder? Für Weiterdenker: Verzwickter wird’s, wenn die Wichtel mehr als 2 Geschenke zum Testen bekommen und eine höhere Geschenkfabrik haben, wie z.B. im Rätsel vom 12.12.12...
Ich bedanke mich bei Andi H. für die Idee zu diesem Rätsel und bei Euch allen fürs Mitmachen! M. K.
